Führt immer der kürzeste Weg am schnellsten zum Ziel?
WORUM GEHT ES?
Schon Galilei hat darüber nachgedacht, welche Bahnform am schnellsten zum Ziel führt. Diese Station liefert einen entscheidenden Anhaltspunkt für eine Antwort – führt wirklich immer der kürzeste Weg am schnellsten zum Ziel?
Auf den drei Bahnen können zur gleichen Zeit oben startend Kugeln hinunter gerollt werden. Die Bahnen, die an der gleichen Stelle beginnen und am Ende an der gleichen Stelle ihr Ziel erreichen, sind unterschiedlich geformt: Eine verläuft direkt geradlinig von Start zu Ziel, eine zweite verläuft erst flacher und wir dann immer steiler und eine dritte fällt zunächst sehr steil und wird zum Ziel hin flach.
WESHALB IST DAS SO?
An dieser Station gibt es also drei unterschiedlich geformte Bahnen. Da alle drei Bahnen vom Startpunkt bis zum Endpunkt den gleichen Höhenunterschied besitzen, ist für alle Kugeln die maximal erreichbare Endgeschwindigkeit gleich groß. Durch die verschiedenen Längen und Krümmungen der einzelnen Strecken erreichen die Kugeln ihre gemeinsame Endgeschwindigkeit jedoch unterschiedlich schnell.
Auf der nach oben gewölbten Bahn wird die Kugel am Anfang nur sehr schwach beschleunigt, weil die Neigung der Bahn hier äußerst gering ist. Dadurch ist der Ball zu Beginn sehr langsam. Erst relativ spät erreicht er die Endgeschwindigkeit der anderen Bälle, die zu der Zeit aber schon längst im Ziel sind.
Die blau markierte, gerade Bahn ist die kürzeste der drei Bahnen.Trotzdem trifft der Ball auch hier nicht als erstes im Ziel ein. Stattdessen gewinnt die Kugel auf der nach unten gewölbten Bahn das Rennen. Das liegt daran, dass hier zu Beginn die Neigung der Bahn wesentlich größer ist als bei den anderen. Dadurch erreicht der Ball schon fast am Anfang seine maximale Geschwindigkeit. So legt er den Rest der Strecke in einer kürzeren Zeit zurück als die anderen Kugeln. Entscheidend ist hier also, wie schnell die Kugeln auf den einzelnen Bahnen die maximal mögliche Endgeschwindigkeit erreichen.
Alltagsbezug (Geschichte)
Schließlich stellt sich die Frage, ob es eine noch schnellere Bahn gibt und wie diese geformt sein müsste. Schon Johann Bernoulli hat sich mit diesem Problem beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er die Lösung in der Form einer Brachistochrone (was soviel bedeutet wie „Bahn mit der kürzesten Zeit“), deren Tiefstpunkt sogar unter dem Endpunkt der Bahnen liegt. Unter anderen arbeiten auch Leibniz und Newton an diesem Problem, das Bernoulli zu einem internationalen Wettbewerb unter den großen Mathematikern seiner Zeit ausgeschrieben hatte. Sie entwickelten bei der Lösung des Problems eine neue mathematische Vorgehensweise: die Variationsrechnung.